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基尔霍夫电路定律

时间:2022-10-17 人气: 来源:山东合运电气有限公司

  基尔霍夫电路定律(Kirchhoff Circuit Laws)简称Gustav_Robert_Kirchhoff.jpg基尔霍夫定律,指的是两条电路学定律,基尔霍夫电流定律基尔霍夫电压定律。它们涉及了电荷的守恒及电势的保守性。1845年,古斯塔夫·基尔霍夫首先提出基尔霍夫电路定律。现在,这定律被广泛地应用于电气工程学。

  从麦克斯韦方程组可以推导出基尔霍夫电路定律。但是,基尔霍夫并不是依循这条思路发展,而是从格奥尔格·欧姆的工作成果加以推广得之。

基尔霍夫电流定律


  基尔霍夫电流定律又称为基尔霍夫第一定律,表明:

  所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这节点的电流的总和。

  或者,更详细描述,

  假设进入某节点的电流为正值,离开这节点的电流为负值,则所有涉及这节点的电流的代数和等于零。

  以方程表达,对于电路的任意节点,

  {\displaystyle\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0}\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0;

  其中,{\displaystyle i_{k}}i_{k}是第{\displaystyle k}k个进入或离开这节点的电流,是流过与这节点相连接的第{\displaystyle k}k个支路的电流,可以是实数或复数。1-22101G40SUN.png

  由于累积的电荷(单位为库仑)是电流(单位为安培)与时间(单位为秒)的乘积,从电荷守恒定律可以推导出这条定律。其实质是稳恒电流的连续性方程,即根据电荷守恒定律,流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和。

导引

  思考电路的某节点,跟这节点相连接有{\displaystyle n}n个支路。假设进入这节点的电流为正值,离开这节点的电流为负值,则经过这节点的总电流{\displaystyle i}i等于流过支路{\displaystyle k}k的电流{\displaystyle i_{k}}i_{k}的代数和:

  {\displaystyle i=\sum _{k=1}^{n}i_{k}}i=\sum _{k=1}^{n}i_{k}。

  将这方程积分于时间,可以得到累积于这节点的电荷的方程:

  {\displaystyle q=\sum _{k=1}^{n}q_{k}}q=\sum _{k=1}^{n}q_{k};

  其中,{\displaystyle q=\int _{0}^{t}i(t')\mathrm{d}t'}q=\int _{0}^{t}i(t')\mathrm{d}t'是累积于这节点的总电荷,{\displaystyle q_{k}=\int _{0}^{t}i_{k}(t')\mathrm{d}t'}q_{k}=\int _{0}^{t}i_{k}(t')\mathrm{d}t'是流过支路{\displaystyle k}k的电荷,{\displaystyle t}t是检验时间,{\displaystyle t'}t'是积分时间变数。

  假设{\displaystyle q>0}q>0,则正电荷会累积于节点;否则,负电荷会累积于节点。根据电荷守恒定律,{\displaystyle q}q是个常数,不能够随着时间演进而改变。由于这节点是个导体,不能储存任何电荷。所以,{\displaystyle q=0}q=0、{\displaystyle i=0}i=0,基尔霍夫电流定律成立:

  {\displaystyle\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0}\sum _{k=1}^{n}i_{k}=0。

含时电荷密度

  从上述推导可以看到,只有当电荷量为常数时,基尔霍夫电流定律才会成立。通常,这不是个问题,因为静电力相斥作用,会阻止任何正电荷或负电荷随时间演进而累积于节点,大多时候,节点的净电荷是零。

  不过,电容器的两块导板可能会允许正电荷或负电荷的累积。这是因为电容器的两块导板之间的空隙,会阻止分别累积于两块导板的异性电荷相遇,从而互相抵消。对于这状况,流向其中任何一块导板的电流总和等于电荷累积的速率,而不是零。但是,若将位移电流{\displaystyle\mathbf{J}_{D}}\mathbf{J}_{D}纳入考虑,则基尔霍夫电流定律依然有效。详尽细节,请参阅条目位移电流。只有当应用基尔霍夫电流定律于电容器内部的导板时,才需要这样思考。若应用于电路分析(circuit analysis)时,电容器可以视为一个整体器件,净电荷是零,所以原先的电流定律仍适用。

  由更技术性的层面来说,取散度于麦克斯韦修正的安培定律,然后与高斯定律相结合,即可得到基尔霍夫电流定律

  {\displaystyle\nabla\cdot\mathbf{J}=-\epsilon _{0}\nabla\cdot{\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}}=-{\frac{\partial\rho}{\partial t}}}\nabla\cdot\mathbf{J}=-\epsilon _{0}\nabla\cdot{\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}}=-{\frac{\partial\rho}{\partial t}};

  其中,{\displaystyle\mathbf{J}}\mathbf{J}是电流密度,{\displaystyle\epsilon _{0}}\epsilon _{0}是电常数,{\displaystyle\mathbf{E}}\mathbf{E}是电场,{\displaystyle\rho}\rho是电荷密度。

  这是电荷守恒的微分方程。以积分的形式表述,从封闭表面流出的电流等于在这封闭表面内部的电荷{\displaystyle Q}Q的流失率:

  {\displaystyle\oint _{\mathbb{S}}\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}=-{\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}}}\oint _{\mathbb{S}}\mathbf{J}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}=-{\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}}。

  基尔霍夫电流定律等价于电流的散度是零的论述。对于不含时电荷密度{\displaystyle\rho}\rho,这定律成立。对于含时电荷密度,则必需将位移电流纳入考虑。

应用

  以矩阵表达的基尔霍夫电流定律是众多电路模拟软件(electronic circuit simulation)的理论基础,例如,SPICE或NI Multisim。

基尔霍夫电压定律


 基尔霍夫电压定律又称为基尔霍夫第二定律,表明:KVL.png

  沿着闭合回路所有器件两端的电势差(电压)的代数和等于零。

  或者,换句话说,

  沿着闭合回路的所有电动势的代数和等于所有电压降的代数和。

  以方程表达,对于电路的任意闭合回路,

  {\displaystyle\sum _{k=1}^{m}v_{k}=0}\sum _{k=1}^{m}v_{k}=0;

  其中,{\displaystyle m}m是这闭合回路的器件数目,{\displaystyle v_{k}}v_{k}是器件两端的电压,可以是实数或复数。

  基尔霍夫电压定律不仅应用于闭合回路,也可以把它推广应用于回路的部分电路。[需要解释]

电场与电势

  在静电学里,电势定义为电场的负线积分:

  {\displaystyle\phi(\mathbf{r}){\stackrel{def}{=}}-\int _{\mathbb{L}}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{\ell}}\,\!}\phi(\mathbf{r}){\stackrel{def}{=}}-\int _{\mathbb{L}}\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}{\boldsymbol{\ell}}\,\!;

  其中,{\displaystyle\phi(\mathbf{r})}\phi(\mathbf{r})是电势,{\displaystyle\mathbf{E}}\mathbf{E}是电场,{\displaystyle\mathbb{L}}\mathbb{L}是从参考位置到位置{\displaystyle\mathbf{r}}\mathbf{r}的路径,{\displaystyle\mathrm{d}{\boldsymbol{\ell}}}\mathrm{d}{\boldsymbol{\ell}}是这路径的微小线元素。

  那么,基尔霍夫电压定律可以等价表达为:

  {\displaystyle\oint _{\mathbb{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0}\oint _{\mathbb{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0;

  其中,{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}是积分的闭合回路。

  这方程乃是法拉第电磁感应定律对于一个特殊状况的简化版本。假设通过闭合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的磁通量为常数,则这方程成立。

  这方程指明,电场沿着闭合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的线积分为零。将这线积分切割为几段支路,就可以分别计算每一段支路的电压。

理论限制

  由于含时电流会产生含时磁场,通过闭合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的磁通量是时间的函数,根据法拉第电磁感应定律,会有电动势{\displaystyle{\mathcal{E}}}{\mathcal{E}}出现于闭合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}。所以,电场沿着闭合回路{\displaystyle\mathbb{C}}\mathbb{C}的线积分不等于零。这是因为电流会将能量传递给磁场;反之亦然,磁场亦会将能量传递给电流。

  对于含有电感器的电路,必需将基尔霍夫电压定律加以修正。由于含时电流的作用,电路的每一个电感器都会产生对应的电动势{\displaystyle{\mathcal{E}}_{k}}{\mathcal{E}}_{k}。必需将这电动势纳入基尔霍夫电压定律,才能求得正确答案。

频域


  思考单频率交流电路的任意节点,应用基尔霍夫电流定律

  {\displaystyle\sum _{k=1}^{n}i_{k}=\sum _{k=1}^{n}I_{k}\cos(\omega t+\theta _{k})=\mathrm{Re}{\Big\{}\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j(\omega t+\theta _{k})}{\Big\}}=\mathrm{Re}{\Big\{}\left(\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j\theta _{k}}\right)e^{j\omega t}{\Big\}}=0}\sum _{k=1}^{n}i_{k}=\sum _{k=1}^{n}I_{k}\cos(\omega t+\theta _{k})=\mathrm{Re}{\Big\{}\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j(\omega t+\theta _{k})}{\Big\}}=\mathrm{Re}{\Big\{}\left(\sum _{k=1}^{n}I_{k}e^{j\theta _{k}}\right)e^{j\omega t}{\Big\}}=0;

  其中,{\displaystyle i_{k}}i_{k}是第{\displaystyle k}k个进入或离开这节点的电流,{\displaystyle I_{k}}I_{k}是其振幅,{\displaystyle\theta _{k}}\theta _{k}是其相位,{\displaystyle\omega}\omega是角频率,{\displaystyle t}t是时间。

  对于任意时间,这方程成立。所以,设定相量{\displaystyle\mathbb{I}_{k}=I_{k}e^{j\theta _{k}}}\mathbb{I}_{k}=I_{k}e^{j\theta _{k}},则可以得到频域的基尔霍夫电流定律,以方程表达,

  {\displaystyle\sum _{k=1}^{n}\mathbb{I}_{k}=0}\sum _{k=1}^{n}\mathbb{I}_{k}=0。

  频域的基尔霍夫电流定律表明:

  所有进入或离开节点的电流相量的代数和等于零。

  这是节点分析的基础定律。

  类似地,对于交流电路的任意闭合回路,频域的基尔霍夫电压定律表明:

  沿着闭合回路所有器件两端的电压相量的代数和等于零。

  以方程表达,

  {\displaystyle\sum _{k=1}^{m}\mathbb{V}_{k}=0}\sum _{k=1}^{m}\mathbb{V}_{k}=0;

  其中,{\displaystyle\mathbb{V}_{k}}\mathbb{V}_{k}是闭合回路的器件两端的电压相量。

  这是网目分析(mesh analysis)的基础定律。


关于基尔霍夫电路定律,小编为大家就分享这些。欢迎联系我们合运电气有限公司,以获取更多相关知识。

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